Kuantum Bilgisayar Hesaplama Devrelerinde Tam Sayının Karesi

OMANSAK Haziran 09, 2025

Squaring of an Integer on the Quantum Computer Circuit

Abstract 
The implementation of multiplication arithmetic for two numbers is a critical component for both classical (electronic) computer circuits and quantum computer circuits. It has been proven that quantum computers surpass classical computers in solving certain NP problems. This study proposes feasibility evaluation of a quantum computer circuit for calculating the square of integers using quantum gates. Compared to traditional computation methods, quantum algorithms have been shown to offer significant advantages in speed and efficiency, especially for large numbers. This paper presents the theoretical foundation of the proposed circuit, the use of quantum gates, and the practical application of the algorithm.

Abstract 
İki sayının çarpma aritmetiğinin uygulanması hem klasik (elektroni) bilgisayar devreleri için hemde kuantum bilgisayar devreleri için kritik kritik bir bileşendir. Kuantum bilgisayarlarının, bazı NP problemlerini çözme konusunda klasik bilgisayarlara kıyasla üstün olduğu kanıtlanmıştır. Bu çalışma, kuantum bilgisayar devreleri kullanılarak tam sayıların karesinin hesaplanması için kuantum kapıları yardımı ile kuantum bilgisayar devresi önerisi ve uygulanabilirliğinin değerlendirilmesini ele almaktadır. Geleneksel hesaplama yöntemleriyle kıyaslandığında, kuantum algoritmalarının özellikle büyük boyutlu sayılar için hız ve etkinlik bakımından önemli avantajlar sunduğu gösterilmiştir. Bu bildiride, ilgili devrenin teorik altyapısı, kuantum kapıların kullanımı ve algoritmanın pratik uygulaması önerilmektedir.

Giriş

Kuantum bilgisayarlar, klasik bilgisayarların yetersiz kaldığı hesaplama problemlerini çözme potansiyeline sahip yeni bir hesaplama paradigması sunmaktadır. Geleneksel hesaplamada, tam sayıların karesini almak gibi basit matematiksel işlemler, büyük boyutlu sayılar için karmaşık ve zaman alıcı hale gelebilmektedir. Kuantum algoritmaları, kuantum paralelliğinin ve kuantum dolaşıklığın avantajlarından yararlanarak bu tür problemleri çözmek için yenilikçi bir yöntem sunar.

Kuantum hesaplama, Richard Feynman(Feynman 1986) ve David Deutsch’un(Deutsch 1992) çalışmalarıyla 1980’lerde kavramsal olarak ortaya çıkmıştır. 1990’larda Shor(Shor 2002) ve Grover(Grover 1997) tarafından geliştirilen algoritmalar, kuantum bilgisayarların klasik bilgisayarlara göre üstünlüklerini ilk kez net bir şekilde göstermiştir. Daha sonra, kuantum mantık kapılarının ve kuantum devrelerinin geliştirilmesiyle, matematiksel ve kriptografik hesaplamalarda daha karmaşık problemlerin çözümü mümkün hale gelmiştir.

Kuantum hesaplama devresi ve kuantum bilgisayarlar, birçok araştırmacının büyük ilgisini çekmiştir(Makaruk 2017). Kuantum bilgisayarların kullanımı için geliştirilen iki önemli uygulaması, kuantum kriptografi(N. Jiang and Wang 2014) (Li et al. 2018) ve kuantum görüntü işleme (Cai, Lu, and Jiang 2018) olarak öne çıkmaktadır. Kuantum bilgisinin klonlanamaması, kuantum dolanıklığını güvenli iletişimler için önemli bir fiziksel garanti haline getirmektedir. Kuantum kapı ile oluşturulan hesaplama devreleriyle gerçekleştirilen bazı büyük sistemler, görüntü kripto sistemlerinde sözde rastgele (pseudo-randomness) dizi üreteçleri olarak kullanılarak kuantum görüntülerinin şifrelenmesini ve çözülmesini sağlayabilir(Nan Jiang et al. 2019).

Yong Zhang tarafından 2020 yılından yayınlanan "Four Arithmetic Operations on the Quantum Computer" isimli çalışması kuantum bilgisayarlar üzerinde dört temel aritmetik işlemi (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) gerçekleştirmek için önerilen yöntemleri ve kuantum devre tasarımlarını ele almaktadır. Çalışma, sabit nokta sayı işlemleri için özel kuantum kapıları kullanarak bu aritmetik birimlerin uygulanabilirliğini inceler. Kuantum kapıları ve devre tasarımları, klasik bilgisayar sistemlerinden farklı olarak kuantum paralelliğinden ve süperpozisyon özelliklerinden yararlanarak işlem hızında potansiyel avantajlar sunar. Araştırma, dijital filtreleme ve diğer mühendislik uygulamaları için kuantum hesaplama tabanlı çözümlerin geliştirilmesine zemin hazırlamayı amaçlamaktadır(Zhang 2020).

Kuantum hesaplama ve kuantum kapı devreleri üzerine daha önce yapılmış çalışmalara dayanarak, bu bildiri, özellikle 2 qubit ve 4 qubit sayılarının karesi alma aritmetik işleminin kuantum kapı devreleri aracılığıyla temel aritmetik birimleri ile gerçekleştirme yöntemini incelemektedir.

Kuantum Hesaplama Devresi

Kuantum bilgisayar, klasik bilgisayara göre farklı çalışma prensiplerine sahip olduğu için klasik mantık kapılarının kuantum hesaplama devreleri için eşdeğer durumlarını gözden geçirmemiz gerekir. Kuantum kapıları, kuantum bilgisayarlarında temel hesaplama işlemlerini gerçekleştiren matematiksel operasyonlardır. Bu kapılar, kuantum bitler (qubit) üzerinde işlem yapar ve klasik bilgisayarlardaki lojik kapılara (AND, OR, NOT gibi) benzer şekilde çalışır. Ancak kuantum kapıları, kuantum mekaniğinin süperpozisyon ve dolaylılık (entanglement) gibi özelliklerinden yararlanır, bu da onları çok daha güçlü ve karmaşık yapar.



Yaygın Kullanılan Kuantum Mantık Kapıları

Figure 1’de kuantum hesaplama devrelerine kullanılan qubit üzerinden işlemlere sahip olunan kuantum kapılarını göstermektedir. Kuantum kapıları, kuantum algoritmalarını (örneğin, Shor veya Grover algoritmaları) uygulamak için birleştirilir. Kuantum devre tasarımında bu kapılar, qubit’lerin durumlarını istenen sonuçları elde etmek üzere manipüle etmek için kullanılır.

Kuantum mekaniğinde klasik mantık kapılarını doğrudan birebir uygulamak mümkün değildir(Renaud and Joachim 2011). Bunun nedeni, kuantum kapılarının:

  1. Unitary Matrislerle tanımlanması (yani tersinir olmaları),
  2. Klasik Kapılardan farklı olarak süperpozisyon ve dolanıklık gibi özellikleri desteklemesidir.

Klasik kapıların kuantum hesaplama devrelerinde simüle ederken klasik anlamda bir kapı ortaya çıkmaz, ancak Figure 1’deki kapıları kullanarak aynı mantığı gerçekleştirmek mümkündür(Williams and Williams 2011). Bu, kuantum devrelerde sıklıkla kullanılan bir yöntemdir.

Klasik AND Kapısı

Kuantum AND kapısı, klasik bilgisayarlardaki AND kapısının kuantum mekaniği prensiplerine uygun bir versiyonudur. Ancak kuantum kapıları tersinir (unitary) olduğu için klasik AND kapısının doğrudan birebir bir kuantum karşılığı yoktur. Bunun yerine, kuantum devrelerinde AND işlemini simüle etmek için çeşitli teknikler kullanılır. Kuantum AND işlemi genellikle Toffoli (CCNOT) kapısı veya kontrol edilen başka kapılar yardımıyla gerçekleştirilir.


Kuantum devresinde klasik AND kapısı simulasyonu

Figure 2’de gösterildiği gibi kuantum AND devresi, klasik anlamda bir kapı değil, kuantum devreleriyle simüle edilen bir işlemdir. Toffoli kapısı veya benzeri kontrollü kapılar yardımıyla AND işlemi uygulanır. Çıkış genellikle bir yardımcı qubit üzerinde saklanır ve tersinirlik prensibi korunur.

Klasik XOR Kapısı

Kuantum XOR devresi, klasik XOR (Exclusive OR) kapısının kuantum bilgisayarındaki karşılığıdır. XOR kapısı, iki girişin farklı olması durumunda çıkışı 1, aynı olması durumunda ise çıkışı 0 yapar. Kuantum bilgisayarında XOR işlemi, CNOT (Controlled-NOT) kapısı ve diğer kuantum kapıları kullanılarak gerçekleştirilir. 


Kuantum devresinde klasik XOR kapısı simulasyonu

Figure 3’de gösterildiği gibi klasik XOR kapısının kuantum devresindeki karşılığı simüle edilmiştir, ancak kuantum devrelerinde XOR işlemi, yalnızca CNOT kapısıyla sınırlı değildir. Ancak CNOT kapısı, XOR işlemini basit ve etkili bir şekilde gerçekleştiren en yaygın kullanılan kuantum kapısıdır. Eğer daha karmaşık bir XOR işlemi gerekiyorsa, ek kuantum kapıları ve yardımcı qubit’ler kullanılabilir. Ancak temel XOR işlemi için CNOT kapısı yeterlidir.

Klasik OR Kapısı

Kuantum OR devresi, önceki klasik kapıların simule devrelerine göre daha fazla CNOT kapısı kullanırak daha fazla çöp qubit üretir. Figure 4’de klasik OR kapısının kuantum devresi karşılığı gösterildiği gibi daha karmaşık ve daha fazla bileşen kullanılmıştır.


Kuantum devresinde klasik OR kapısı simulasyonu

Kuantum Toplama

Klasik bilgisayar devrelerindeki 1 bitlik toplama devresi Figure 5 gösterilmektedir bu tasarımda 3 klasik AND kapısı, 2 klasik XOR kapısı ve 1 adet klasik OR kapısı kullanılarak toplamda 3 bit girişli ve 3 bit çıkışlı devre oluşturulmuştur.



Bir bit toplama (elde ile) devresi

Klasik bilgisayar devrelerinin quantum devrelerinde ki tam karşılığı olmadığı ama benzer şekilde simüle edilebileceğini bir önceki bölümde gösterilmiştir. Bu şekilde simüle ederek, 1996 yılında Vedral ve diğerleri bir kuantum toplayıcı önerdiler(Vedral, Barenco, and Ekert 1996). Figure 6 ve Figure 7’de gösterildiği gibi kuantum NOT kapısı ve kuantum XOR kapısı gibi kuantum devrelerine dayalı toplayıcılar ve taşıma devreleri tasarladılar.

Vedral’in bir qubit toplama devresi


Vedral’in bir qubit toplama (elde ile) devresi

Figure 6 Bir ve ikinci qubitler a ve b temsil ederken üçüncü qubit ise sonucu verir ancak bu devrede elde qubiti işleme alınmazda sonuca dahil olunmaz.a+b=ra + b = r Figure 7’de ise elde qubitlerinin dahil olması ile sonuç bu sefer üçüncü qubitde üretilmektedir. c0+a+b=r+c1c_0 + a + b = r + c_1 Figure 7’da dördüncü qubitin her zaman |0⟩|0 \rangle olduğu görülmektedir, bu durum quantum hesaplama devreleri tasarlarken olağan durumdur. Klasik devrelerde kullanılan elektrik sinyallerinin quantum devrelerinde olmaması sebebi ile quantum devrenin tasarımına göre bazı zamanlarda çöp qubitlerinin kullanılabilinir(Jayashree et al. 2016). Figure 7’deki kuantum devresinde toplamda 4 qubit (giriş-çıkış diye ayrılamaz) kullanılarak toplamda 2 CNOT ve 1 Toffoli (CCNOT) kapısı kullanılmıştur.

Kuantum Çarpma

Yong Zhang’ın "Four arithmetic operations on the quantum computer" başlıklı çalışması, kuantum bilgisayarlarında dört temel aritmetik işlemi gerçekleştiren devre tasarımlarına odaklanmaktadır(Zhang 2020). Bu makale, özellikle ondalıklı sayılarda (Q0.4) kuantum çarpım devresinin tasarımı ve işleyişine yönelik önemli bilgiler sunmaktadır. Zhang’ın çalışmasında önerilen kuantum çarpma devresi, hem giriş hem de ara sonuçlar için minimum qubit kullanımı sağlamayı hedefler.



Yong Zhang’ın Q0.4 kuantum çarpım devresi

Figure 7’de simüle edildiği gibi Zhang toplamda 20 qubit kullanarak hiç çöp qubit kullanmadan Q0.4 (Q format: 1 tam 4 ondalık rakam) 2 ondalıklı sayının çarpımını öneriyor. Önerilen devrede "Zero-controlled NOT" farklı bir kapıda önerilmektedir, bu kapının karşılığı Figure 7’de gösterilmektedir.


Yong Zhang’ın "

Zero-controlled NOT" kapısı

Önerilen bu devreyi ondalık tarafını ayrı ele alıp "Kuantum Karesi" devresi tasarlarken referans alınabilir.

Kuantum Karesi

Herhangi bir sayının karesi aslında aynı sayıda iki adet sayının çarpımına eşittir ilkesinden yola çıkarak klasik bilgisayar devresi yada kuantum hesaplama devresinde çarpma devrelerinin girişlerini tek girişe çevirerek karesi alma devresi elde edilebilinir.


İki bit iki sayının çarpım devresi

Figure 10’da gösterildiği gibi 2 bit sahip 2 giriş bilgisinin klasik bilgisayar devrelerinde çarpımı simüle edilmiştir. Bu devrede toplamda 5 adet AND ve 2 adet XOR kapısı kullanılmıştır. Bu devrede ki iki girişi tek girişi haline çevirip 2 bitlik bir sayının karesi alma devresi simüle edilebilir (Figure 11).



İki bitlik bir sayının karesi alma devresi
İki bitlik bir sayının karesi
Giriş (A) Çıkış (R)
00 0000
01 0001
10 0100
11 1001

Table 1’deki sonuç göz önüne alındığında Figure 11’deki devreyi sadeleştirebilinir. Table 1 incelendiğinde;

  • r0=a02=a0ANDa0=a0r_0 = a_0^2 = a_0\ AND\ a_0 = a_0
  • r1=0r_1 = 0 (Herhangi sayının karesi onluk tabanda sonucu 22 olamaz)
  • r1=(a0*a1)2=(a0ANDa1)XORa1r_1 = (a_0 * a_1)^2 = (a_0\ AND\ a_1)\ XOR\ a_1
  • r3=c+a12=(a0ANDa1)ANDa1r_3 = c + a_1^2 = (a_0\ AND\ a_1)\ AND\ a_1


İki bitlik bir sayının karesi alma devresi (sadeleştirilmiş)

Table 1’deki sonuçlara göre Figure 11 sadeleştirerek iki bitlik iki sayının sadece 2 AND ve 1 adet XOR kapısı ile simüle edilebileceği Figure 12’de gösterildiği gibi sadeleştirilebilinir.

İki qubitlik bir sayının kuantum karesi alma devresi

Figure 12’de sadeleştirmiş devrenin kuantum hesaplama devresinde simüle edilmiş hali Figure 13 gösterilmiştir. Bu devre toplamda 2 CNOT kapısı, 2 CCNOT ve 6 qubit kullanarak hiç bir qubiti çöp etmeden iki bitlik bir sayının karesini kolayca kuantum devresinde simüle etmektedir.

Dört Kuantum Bitlik Sayının Karesi

Dört kuantum bitlik bir sayının karesini almak, klasik hesaplamadaki karesel işlemi kuantum mantık kapıları ile gerçekleştiren bir kuantum devresi oluşturmayı gerektirir. Önceki bölümlerdeki devreler ve hesaplama göz önüne alındığında Figure 14’deki 4 bitlik iki sayının çarpım devresi ve bu devrenin iki girişini tek giriş olarak düzenleyerek dört bitlik bir sayının karesi alma devresi Figure 15’de tasarlanmıştır. Bu devredeki toplama devresi Figure 5’deki gösterilen klasik bilgisayar devresidir.

Dört bitlik bir sayının karesi alma devresi

Dört bitlik bir sayının karesi alma devresi (sadeleştirilmiş)

Dört qubitlik bir sayının kuantum karesi alma devresi

Buraya kadar bahsedilen konular ile beraber Figure 16’da dört qubitlik (a0a1a2a3a_0a_1a_2a_3) bir sayının karesi alma devresi gösterilmektedir. Bu devrede a2=ra^2=r (r0r1r2r3r4r5r6r7r_0r_1r_2r_3r_4r_5r_6r_7) aritmetik işleminin sonucu vermektedir. Devrede toplamda 23 adet CNOT, CCNOT ve CCCNOT kapısı ve toplamda 4 giriş (aa) qubiti 8 sonuç (rr) qubiti ve 5 çöp (gg) qubit kullanılarak qubitlerin pozisyonlarını ayarlamak için left rotate (sol döndürme) ve right rotate (sağ döndürme) mekanizmaları kullanılarak sıralı bir giriş ve sıralı bir sonuç ile dört qubitlik giriş verisinin karesi ile sonuç simüle edilmiştir.

Sonuç

Bu çalışmada, kuantum bilgisayarda uygulanabilecek bir sayının karesi alma aritmetik işlemi incelenmektedir. İlk olarak, kuantum kapıları gösterilip ve daha önce bu alanda yapılmış toplama ve çarpma devreleri gösterilmiştir. Daha sonra, iki bitlik bir sayının karesi alma devresi hem klasik bilgisayar devresinde hemde kuantum hesaplama devresinde tasarlanmıştır. Bundan sonra, gösterilen tasarımlara dayanarak dört bitlik bir sayının karesi alma devresi kuantum hesaplama devresinde simüle edilmiştir. Tasarlanan kuantum aritmetik birimlerine dayanarak, yüksek hassasiyetli farklı devreler tasarlanabilinir. Bu çalışmaya dayanarak geleneksel elektronik bilgisayarlarda kullanılan karmaşık aritmetik işlemlerinin kuantum işleme versiyonlarını gerçekleştirmeyi planlıyoruz.

Simalasyonlar:

CircuitVerse Klasik Devre

AlgasSert Quantum Computing

Osman Şakir Kapar
İstanbul Üniversitesi-Cerrahpaşa
Lisansüstü Eğitim Enstitüsü
Bilgisayar Mühendisliği Ana Bilim Dalı
omansak.com
Ocak 2025

  • Cai, Yongquan, Xiaowei Lu, and Nan Jiang. 2018. “A Survey on Quantum Image Processing.” Chinese Journal of Electronics 27 (4): 718–27.
  • Deutsch, David. 1992. “Quantum Computing.” Physics World, June.
  • Feynman, Richard P. 1986. “Quantum Mechanical Computers.” Found. Phys. 16 (6): 507–32.
  • Grover, Lov K. 1997. “Quantum Mechanics Helps in Searching for a Needle in a Haystack.” Physical Review Letters 79 (2): 325.
  • Jayashree, HV, Himanshu Thapliyal, Hamid R Arabnia, and Vinod Kumar Agrawal. 2016. “Ancilla-Input and Garbage-Output Optimized Design of a Reversible Quantum Integer Multiplier.” The Journal of Supercomputing 72: 1477–93.
  • Jiang, Nan, Xuan Dong, Hao Hu, Zhuoxiao Ji, and Wenyin Zhang. 2019. “Quantum Image Encryption Based on Henon Mapping.” International Journal of Theoretical Physics 58: 979–91.
  • Jiang, N, and L Wang. 2014. “A Quantum Image Information Hiding Algorithm Based on Moiré Pattern.” Int. J. Theor. Phys 54 (3).
  • Li, Dan, Yu-Guang Yang, Jing-Lin Bi, Jia-Bin Yuan, and Juan Xu. 2018. “Controlled Alternate Quantum Walks Based Quantum Hash Function.” Scientific Reports 8 (1): 225.
  • Makaruk, Hanna. 2017. “Quantum Computing and Second Quantization.” Journal of Knot Theory and Its Ramifications 26 (03): 1741006.
  • Renaud, N, and C Joachim. 2011. “Classical Boolean Logic Gates with Quantum Systems.” Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44 (15): 155302.
  • Shor, Peter W. 2002. “Introduction to Quantum Algorithms.” In Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, 58:143–60.
  • Vedral, Vlatko, Adriano Barenco, and Artur Ekert. 1996. “Quantum Networks for Elementary Arithmetic Operations.” Physical Review A 54 (1): 147.
  • Williams, Colin P, and Colin P Williams. 2011. “Quantum Gates.” Explorations in Quantum Computing, 51–122.
  • Zhang, Yong. 2020. “Four Arithmetic Operations on the Quantum Computer.” In Journal of Physics: Conference Series, 1575:012037. 1. IOP Publishing.
Tags
OMANSAK

Gönderen OMANSAK